Kompaktifizierung

Kompaktifizierung ist ein Oberbegriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Unter einer Kompaktifizierung versteht man dabei die Zuordnung kompakter Räume zu bestimmten topologischen Räumen, sodass der jeweils zugeordnete kompakte Raum, die Kompaktifizierung des ursprünglichen Raums, topologische Eigenschaften des ursprünglichen Raumes übernimmt. In vielen Fällen kann der ursprüngliche Raum als Teilraum des kompaktifizierten Raumes aufgefasst werden.

Mathematisch gesehen ist eine Kompaktifizierung ${\displaystyle (Y,g)}$ eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ ein kompakter Raum ${\displaystyle Y}$ zusammen mit einer Einbettung ${\displaystyle g:X\to Y}$. In der Regel setzt man zusätzlich voraus, dass die Einbettung dicht ist, das heißt ${\displaystyle g(X)}$ ist eine dichte Teilmenge von ${\displaystyle Y}$. Es gibt aber auch Kompaktifizierungen, bei denen man die Dichtheit weglässt.